定理(theorem)与定律(law)这两个名词虽然只差一个字，意义却是天差地远。如果没有英文可供对照，我们要如何自立自强呢？
●可以不可以
先介绍一个口诀：“定理可以证明，定律可以推翻”。当然你也能反过来说：“定理不可推翻，定律不可证明。”
定理为何可以证明？因为它是一种逻辑结构，所以能用逻辑推导出来，而推导的过程就是所谓的证明。例如欧几里得在两千多年前，就用归谬法证明出“质数有无限多”这个定理。
定理为何不可推翻？因为逻辑中的对错是绝对的，一旦被证明是对的，就一定不会错了(所以千万别试着用任何方法寻找“最大的质数”)。
定律为何不可证明？因为定律是根据自然现象归纳出的大致规律，并非逻辑推导出的结果。例如“凡哺乳类皆为胎生”就曾经是生物学家归纳出的定律。
定律为何可以推翻？因为归纳法所得到的结果都可能有漏洞，只要出现一个漏洞或反例，这个定律就被推翻了(十八世纪末才被发现的“针鼹”与“鸭嘴兽”便是上述定律的反例)。
接下来请大家想想，“地球是圆的”这个叙述是定理还是定律？
如果你说是定理(因为已被麦哲伦的船队证明)，抱歉你答错了。但如果你说是定律(因为它是自然现象)，很抱歉，还是答错了！
正确答案是：它既非定理也并非定律，只能算是一件独立的“事实”。
麦哲伦的船队的确证明了地球是圆的，但他们所用的方法不是逻辑，而是实作，所以其实应该说他们是验证了这项事实。同理，如果律师在法庭上证明某人无罪，他也只是澄清了一件事实，而不是证明出一个定理。
至于为何一直强调“麦哲伦的船队”，则是因为麦哲伦本人并未完成环绕地球的壮举。正所谓壮志未酬身先死，公元1521年，他于航行途中在菲律宾遭原住民杀害，好在他的船员替他完成遗愿，从菲律宾沿印度洋返回欧洲，麦哲伦才得以名留青史。
●从事实到定律
如果我们将“地球是圆的”扩充成“行星是圆的”，这样的一般性论述才算是定律。而既然是定律，就不可能证明了。
若想用实作来证明“行星是圆的”，你必须把宇宙中所有的行星都检查一遍，那当然是不可能的事──即使理论上也不可能，因为别人永远可以质疑：你如何确定没有漏网之鱼？
反之，“行星是圆的”这个定律不但有可能被推翻，事实上已经被推翻了。因为天文学家早就观测到，太阳系中的“微型行星”(minor planet， 小行星为其中的一支)有许多都不是圆的。既然有反例，这个定律当然无法成立了。
小行星243与其卫星
如果你认为微型行星太小，应当排除在外，于是稍加修改这个定律，将它改成“够大的行星都是圆的”，那么恭喜恭喜，你终于得到一个定律，因为天文学家至今仍未找到任何反例。不过，我们也只能说这个定律很可靠，绝对不能说它是正确的。
请务必记住，世上根本没有“正确的定律”，正如同没有“错误的定理”。
万一你在某处读到“这个定理后来被证明是错的”，其实作者真正的意思是“这个猜想后来被证明是错的”。因为尚未证明的论述根本不是定理，只能称为猜想或猜测。
这方面的例子不算少，最有名的应该是数学中的“哥德巴赫猜想”。可别以为它有多么深奥，恰恰相反，连小学生都看得懂！
哥德巴赫猜想的内容如下：任何大于二的偶数，都能写成两个质数之和。例如 4=2+2， 6=3+3， 8=3+5...
虽然内容简单无比，可是自从哥德巴赫于1742年提出这个猜想，至今没有任何人想出正确的证明。另一方面，也没有人敢说这个猜想不对，因为直到目前为止，谁也找不到一个反例。
千万别以为数学家不够努力，他们已经用电脑找遍了四百万兆(4×1018)以下的偶数，没有发现任何例外！
不过，这个猜想的前提是“任何大于二的偶数”，所以无论你找出多少正确的例子，也只能算是“佐证”，只能增加数学家的信心，并不能让它升级为定理。
就某方面而言，哥德巴赫猜想和“够大的行星都是圆的”这个定律相当类似。不同的是，前者有可能终有一天得到证明，后者则永无可能！
在此顺便为哥德巴赫(Christian Goldbach， 1690-1764)这位数学家平反一下。有不少人以为除了这个猜想，哥德巴赫在数学上毫无建树，甚至有人说他根本不是数学家，这些都是(网络出现前)以讹传讹的谣言。
该讲的差不多讲完了，让我们把重点再整理一遍：
事实可以用实作来证明。实作的范围很广，包括实验、观测、探勘、调查……
定理可以用逻辑来证明，尚未证明的“定理”其实应该称为猜想。
定律可以借由漏洞或反例来推翻。
定律可以借由验证增加其可信度，但无论通过多少次验证，都不能称之为“正确的”。
●特殊案例
天文学中的克卜勒三大定律，其实早就该改名字了。这三个规律虽然是克卜勒根据天文观测结果归纳出来的，可是后来牛顿发现，只要以(更基本且适用性更广的)万有引力定律为出发点，配合第二运动定律，就能用数学推导出这三个规律。
因此最正确的说法是：
在万有引力定律问世之前，这三个规律的确是“克卜勒三大定律”。
在万有引力定律问世之后，这三个规律变成了“克卜勒三大定理”。
两百多年后，历史竟然又重演了一次。因为爱因斯坦发现，只要以(更基本且适用性更广的)广义相对论为出发点，就能用数学推导出万有引力定律。
至于历史还会不会再度重演，就让我们拭目以待吧。
注：数学的研究对象是逻辑结构而不是自然现象，因此数学中只有“定理”，绝对没有任何“定律”。至于“正弦定律”、“余弦定律”和“正切定律”(law of sines， cosines， tangents)这三个名词则是积非成是的结果，其实都应该正名为“定理”。
