厄米对称（Hermitian）存在于大部分的量子理论之中，但它却不是必要的。如果放弃这个对称性，系统将出现奇妙的物理现象和有趣的应用。
薛丁格方程式是量子力学的核心，方程式里面主要由两个部分组成：哈密顿算符（Hamiltonian）和波函数。哈密顿算符决定于系统环境，而波函数包含所有关于量子态有用的资讯。对于一个特定的系统，我们把系统特性写进哈密顿算符中，薛丁格方程式就会告诉我们这个系统中的波函数长什么样子。
通常，物理学家会要求哈密顿算符满足一些基本的数学条件，以满足大自然中对称性，例如；量子态的能量是实数、粒子数和能量守恒等。这些基本的数学条件被称做厄米对称性（Hermitian）[注1]，几乎所有的基础量子理论都建立在哈密顿算符是厄米对称的前提下。本篇文章介绍如果不要求厄米对称，量子理论会出现的奇异现象和有趣应用。
●独特点（Exceptional Point， EP）
在非厄米系统中，最奇异的特性是“独特点”的存在 [注2]。一般的量子系统中，不同的量子态处于相同的能量是一件极为普通的事情，例如：苯环的共振结构。尽管能量相同，苯环的共振确确实实是由“两个”量子态组成。但在独特点上，多个量子态除了具有相同的能量，它们融合成为“一个”量子态。
图一、随着系统环境变化，量子态的能量也跟着改变。图中红色和蓝色分别是两个不同的量子态。（左）在厄米系统中，能量的改变非常平滑。（右）在非厄米系统中存在“独特点”，在这个点上面，红色和蓝色两个不同的量子态融合成一个量子态。在这个点附近，能量的变化非常复杂剧烈。
图一是量子态在厄米系统和非厄米系统的结构，厄米系统随环境变化非常的平整缓慢。而非厄米系统，在特定的系统参数下（绿色箭头）量子态纠结成一团、并且融合。物理学家提出很多理论，描述独特点在电子结构中潜在的应用。但是电子这样的费米子（fermion）必须要满足实数能量和粒子数守恒，难以应用在非厄米系统中。相较之下，光子是一个波色子（boson），它能任意地被产生或是消灭，也可以有虚数能量 [注3]，是实现厄米系统非常好的候选人。以下来看一些“独特点”的应用。
●量子态切换器
量子态的能量随系统环境变化，在独特点上，两个量子态融合成一个（图一右的绿色箭头处）。而在独特点附近，量子态的变化非常奇异。如果我们设计一个实验，控制系统中两个参数，使系统环境在参数空间内走图二A的封闭路径，量子态会走如图二B所示的路径（白色箭头），它会回到原来的状态。但如果像图二C那样包含一个独特点（EP）的封闭路径，量子态会从红色的变成蓝色的。科学家发现，如果包含独特点封闭路径是逆时针的，量子态都会变成蓝色的，而顺时针都会变成红色的。
图二、通常在实验中，我们可以透过许多参数来控制一个系统，在此假设我们有2个参数。（A）参数的变化是一个封闭路径，但不包含独特点（EP）。（B）在不包含独特点（图中绿色X）的情况下，A中的封闭路径会让量子态回到原状。（C） 参数的变化是一个封闭路径，并且包含独特点（EP）。（D）如果路径包含独特点，量子态不会回到原处，而是变成另外一个量子态。
如果你发现上述的理论细节很难理解，来看看实际应用。科学家设计一种材料，材料内不同位置有不同的性质。当光子从左边穿越材料到右边时，光子就像是经历了图二C和D中的逆时针过程；从右边到左边，则是顺时针过程。如图三所示，无论是光子本来处于红色或蓝色的量子态，向右传输后，所有的光子都跑到了蓝色量子态（图三A）。相反地，向左传输，光子都跑到红色量子态（图三B）。这个现象除了反直觉又很酷之外，在单一元件内达到两种量子态的控制切换，对光电路也有很大的应用。
图三、材料内特性的变化被设计成图二中C， D的路径。（A）无论起始状态是什么，如果光子向右传输，它会落于蓝色量子态。（B）反之会到红色量子态。
●高敏度侦测器
上面曾经提到在独特点附近量子态的能量变化非常剧烈，科学家将这个特性应用在侦测器中。系统受到外界干扰时（例如有原子或分子经过），系统环境会出现变化，这个变化也会反应在量子态的能量中。但通常这个变化非常微小，难以被测量。但在一个非厄米系统中，独特点对参数变化非常敏感。如图四B所示，微小的扰动（横轴橘色双箭头），对厄米系统来说是微不足道（纵轴灰色双箭头），但在非厄米系统中却造成非常大的反应（纵轴橘色双箭头）。
透过这个原理制造的感应器非常灵敏。这样的装置靠的是对底层物理的了解加上材料的设计，结构相对简单。也因为不须要复杂的机构，它在纳米尺度下的电路应用非常有潜力。
图四、（A）外界扰动就像是某种参数变化，当受到扰动时，量子态的能量会产生变化。透过这个能量变化，科学家能反过来侦测外界扰动的大小。（B）非厄米系统中的独特点对外界壤动的灵敏度极高。小小的干扰就能产生很大的能量变化。
附注：
[注1] 厄米对称指的是在共轭（conjugate）和转置（adjoint）运算下守恒。
[注2] 英文为exceptional point，笔者译为“独特点”，也可以翻译为“优越点”、“例外点”等。
[注3] 光子理论中，实数能量代表光的频率，虚数能量代表光子被吸收或耗散的速率。
参考资料：
Hossein Hodaei et al.， Enhanced sensitivity at higher-order exceptional points， Nature 548， 187 （2017）
Weijian Chen et al.， Exceptional points enhance sensing in an optical microcavity， Nature 548， 192 （2017）
Jörg Doppler et al.， Dynamically encircling an exceptional point for asymmetric mode switching， Nature 537， 76 （2016）
H. Xu et al.， Topological energy transfer in an optomechanical system with exceptional points， Nature 537， 80 （2016）
