印度数学家的很多发现，比西方早了多个世纪。
和中国一样，印度在很久以前就发现了十进制的好处。
早在公元三世纪，印度人就已经在使用十进制。
他们当时的数字系统与我们今天所使用的一样，数字所在的位置表示数位：个、十、百、千、万……如此类推。
我们不知道他们是如何发展出十进制的，但是他们无疑对此进行了细化，使之更臻完美，为数字一到九在全世界范围内的使用奠定了基础。
然后，他们还发明了一个新的数字：0。
零不再等于“没有”
在已知史料当中，数字“零”最早有明确记载的使用是在九世纪，但是它很可能在那之前几百年就已经被人类所使用。
在印度中央邦的瓜廖尔堡(Gwalior Fortress)一个小寺庙的墙上，就记录着这样一个奇怪的数字。
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这座印度城堡当中的一座寺庙，就是目前已知最早使用数字“0”的地方。
因为它是数字“零”的所在地，于是也就成为了数学迷的一个朝圣地。
令人惊讶的是，在印度人记下这个数字之前，它并不存在。
世界上最早的数字“0”，发现于印度寺庙的墙上。
在古埃及，在美索不达米亚，在古代中国，都存在着“零”这个概念，但当时都是以一个符号或者一个空白位置的形式存在。
真正将它变成一个有明确意义的数字的，是印度人。
是这一个概念性的飞跃，使人类数学发生了变革。
在“减”去计数用的石子之后，地上就会留下一个类似圆圈的印记。
自此之后，以非常高效的方式组出天文数字成为了可能。
印度人如何想到了“0”的概念?
我们永远都无法确定这一点，但是有可能，这个概念以及用以表示“零”的符号，最初是来源于在地上用石子算数的计算方式。
当石子被拿开，沙土上就会有一个石子留下了圆形印记，代表了一种从有到无的过程。
但是，这个数字的发明，还有可能存在着文化上的原因。
这个在佛教和印度教当中的神圣手印，在梵语当中就是代表虚无、开放和空间的意思。
关于“无”和“永恒”的概念，是古代印度人信仰体系当中的一部分。
在佛教和印度教的传播和教育当中，都信奉“无”的概念。
于是，一种热心信奉“无”之概念的文化，为“零”找到一个归宿，就不应该是一件令人惊奇的事。
数字“0”的发明给数学带来了飞跃。
印度人甚至用梵语中一个用来表示哲学上“虚无”概念、读音为“shunya”的字，来表示这个新的数学概念。
从无到无穷
印度著名数学家婆多摩笈多(Brahmagupta)早在7世纪就展示过数字零的一些主要属性。
他的一些与零相关的基本规则，至今仍然在全世界的课堂上讲授。
1 + 0 = 1
1 - 0 = 1
1 x 0 = 0
不过，当婆多摩笈多用0去除1的时候，他就遭遇到了难题。
什么数字乘以0会等于1?
解答这个问题需要一个新的数学概念：无穷。
caption无穷的概念帮助解决了以0作分母的数学问题。
只有这样才能让零作分母具备任何合理性。
而这一个进步也是一个印度数学家的功劳——巴斯卡拉(Bhaskara)在12世纪设计了这个概念。
再进一步
如果你将一个水平切成两半，你就有两块水果。
如果你将它切成三块，就有三块水果。
一直切下去的话就会是越来越多、越来越小的块。
最终，你会得到无穷多的块数。
巴斯卡拉就由此推理出，1除以0就是无穷大。
最终，一切的除法都会达到无穷远。
不过，用0做的计算，还要比这更进一步。
如果我们接受3减去3等于0，那3减去4呢?
你似乎会什么都没有，但是印度人却意识到，那是一种新的“没有”：负数。
印度人之所以能够得出负数和零的概念，是因为他们从一开始就将这些理解成是抽象的概念。
在印度人的信仰当中，数字是一个抽象概念。
数字不仅是用作计算和测量的工具，它们是有生命的，它们飘浮在宇宙中，不受制于摸得着的真实世界。
这样一种思路，带来了数学思想上的大爆炸。
X和Y
印度人对数学的抽象理解，为解决二次方程带来了新方法。
婆多摩笈多对于负数的理解让他看到，二次方程将永远有两种解决方法，其中一种可能是负数。
他进一步通过两个变量(X和Y)来解决方程式。
西方直到1657年才走出这一步——法国数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)提出了他的解答方法，但他不知道，他的印度同行在一千年前就已经找到了答案。
费马在1657年“解决”了二次方程的问题。
婆罗摩笈多还为了表达这种等式计算而开发了一套新的语言。
在实验如何表达他的计算方法时，他用两种颜色名称的字头来代表两个变量。
于是就有了我们一直沿用至今的X和Y。
另一个无穷的数字
印度数学家们还研究了三角函数，并得出新发现。
古代印度的天文学家通过三角函数计算出了地球、月球和太阳之间的距离。
我们都知道，是希腊人最先发展出了一套几何与代数之间互换的概念体系。
但是印度人将此往前推进了一步。
他们应用三角函数来研究他们周围的世界，包括航海和测量空间距离。
例如，印度数学家测量了地球与月球、地球与太阳之间的距离。
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是数学当中一个重要的概念。
印度数学家还解出了数学领域里其中一个最神秘的数字：圆周率(π)。
π就是一个圆形的周长与直径之间的比率。
这个数字在所有数学计算当中都会用到，在工程与建筑当中尤其有用，因为每一种涉及弧线的测量都会用到π。
在很多个世纪里，数学家都在探索π的准确值。
到了六世纪，印度数学家阿耶波多(Aryabhata)得出了一个非常准确的估算值：3.1416
他也用这个值测量了地球的周长，得出的数值是39968公里——与我们今天所知道的40075公里非常接近。
准确值的计算方法，仍然被看作是由欧洲人取得的成就。
数学家马德哈瓦(Madhava)则发现，通过增加和减少分数，就可能确定Pi的精确值。
这是一个至今仍然在全世界很多大学里教授的公式，但人们往往认为它是在17世纪由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)发现的。
