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理解期望值，有助于分析赌场里的大部分赌局，以及美国中西部和英国的嘉年华会中，常有人玩、但一般人比较不熟悉的赌法：骰子掷好运（chuck-a-luck）。

招揽人来玩“骰子掷好运”的说词极具说服力：你从 1 到 6 挑一个号码，庄家一次掷三颗骰子，如果三个骰子都掷出你挑的号码，庄家付你 3 美元。要是三个骰子里出现两个你挑的号码，庄家付你 2 美元。

假如三个骰子里只出现一个你挑的号码，庄家付你 1 美元。如果你挑的号码一个也没有出现，那你要付庄家 1 美元。赛局用三个不同的骰子，你有三次机会赢，而且，有时候你还不只赢 1 美元，最多也不过输 1 美元。

我们可以套用名主持人琼安.李维丝（Joan Rivers）的名言（按：她的名言是：“我们能聊一聊吗?”），问一句：“我们能算一算吗?”（如果你宁愿不算，可以跳过这一节。）不管你选哪个号码，赢的机率显然都一样。不过，为了让计算更明确易懂，假设你永远都选 4。骰子是独立的，三个骰子都出现 4 点的机率是 1/6×1/6×1/6=1/216，你约有 1/216 的机率会赢得 3 美元。

仅有两个骰子出现 4 点的机率，会难算一点。但你可以使用第 1 章提到的二项机率分布，我会在这里再导一遍。三个骰子中出现两个 4，有三种彼此互斥的情况：X44、4X4 或 44X，其中 X 代表任何非 4 的点数。而第一种的机率是 5/6×1/6×1/6=5/216，第二种和第三种的结果也是这样。三者相加，可得出三个骰子里出现两个 4 点的机率为 15/216，你有这样的机率会赢得 2 美元。

图/envato

同样的，要算出三个骰子里只出现一个 4 点的机率，也是要将事件分解成三种互斥的情况。得出 4XX 的机率为 1/6×5/6×5/6=25/216，得到 X4X 和 XX4 的机率亦同，三者相加，得出 75/216。这是三个骰子里仅出现一个 4 点的机率，因此也是你赢得 1 美元的机率。

要计算掷三个骰子都没有出现 4 点的机率，我们只要算出剩下的机率是多少即可。算法是用 1（或是100%）减去（1/216 +15/216 + 75/216），得出的答案是 125/216。所以，平均而言，你每玩 216 次骰子掷好运，就有 125 次要输 1 美元。

这样一来，就可以算出你赢的期望值（$3×1/216）+（$2×15/216）+（$1×75/216）+（–$1×125/216）=$（–17/216）=–$0.08。平均来说，你每玩一次这个看起来很有吸引力的赌局，大概就要输掉 8 美分。

寻找爱情，有公式?

面对爱情，有人从感性出发，有人以理性去爱。两种单独运作时显然效果都不太好，但加起来⋯⋯也不是很妙。不过，如果善用两者，成功的机率可能还是大一些。回想旧爱，凭感性去爱的人很可能悲叹错失的良缘，并认为自己以后再也不会这么爱一个人了。而用比较冷静的态度去爱的人，很可能会对以下的机率结果感兴趣。

在我们的模型中，假设女主角——就叫她香桃吧（按：在希腊神话中，香桃木﹝Myrtle﹞是爱神阿芙萝黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物，象征爱与美）有理由相信，在她的“约会生涯”中，会遇到 N 个可能成为配偶的人。对某些女性来说，N 可能等于 2;对另一些人来说，N 也许是 200。香桃思考的问题是：到了什么时候我就应该接受X先生，不管在他之后可能有某些追求者比他“更好”?我们也假设她是一次遇见一个人，有能力判断她遇到的人是否适合她，以及，一旦她拒绝了某个人之后，此人就永远出局。

为了便于说明，假设香桃到目前为止已经见过 6 位男士，她对这些人的排序如下：3—5—1—6—2—4。这是指，在她约过会的这 6 人中，她对见到的第一人的喜欢程度排第 3 名，对第二人的喜欢程度排第 5 名，最喜欢第三个人，以此类推。如果她见了第七个人，她对此人的喜欢程度超过其他人，但第三人仍稳居宝座，那她的更新排序就会变成 4—6—1—7—3—5—2。每见过一个人，她就更新追求者的相对排序。她在想，到底要用什么样的规则择偶，才能让她最有机会从预估的 N 位追求者中，选出最好的。

图/envato

要得出最好的策略，要善用条件机率（我们会在下一章介绍条件机率）和一点微积分，但策略本身讲起来很简单。如果有某个人比过去的对象都好，且让我们把此人称为真命天子。如果香桃打算和 N 个人碰面，她大概需要拒绝前面的 37%，之后真命天子出现时（如果有的话），就接受。

举例来说，假设香桃不是太有魅力，她很可能只会遇见 4 个合格的追求者。我们进一步假设，这 4 个人与她相见的顺序，是 24 种可能性中的任何一种（24=4×3×2×1）。

由于 N=4，37% 策略在这个例子中不够清楚（无法对应到整数），而 37% 介于 25% 与 50% 之间，因此有两套对应的最佳策略如下：

（A）拒绝第一个对象（4×25%=1），接受后来最佳的对象。

（B）拒绝前两名追求者（4×50%=2），接受后来最好的求爱者。

如果采取A策略，香桃会在 24 种可能性中的 11 种，选到最好的追求者。采取 B 策略的话，会在 24 种可能性中的 10 种里择偶成功。

以下列出所有序列，如同前述，1 代表香桃最偏好的追求者，2 代表她的次佳选择，以此类推。因此，3—2—1—4 代表她先遇见第三选择，再来遇见第二选择，第三次遇到最佳选择，最后则遇到下下之选。序列后面标示的 A 或 B，代表在这些情况下，采取 A 策略或 B 策略能让她选到真命天子。

1234;1243;1324;1342;1423;1432;2134（A）;2143（A）;2314（A, B）;2341（A, B）;2413（A, B）;2431（A, B）;3124（A）;3142（A）;3214（B）;3241（B）;3412（A, B）;3421;4123（A）;4132（A）;4213（B）;4231（B）;4312（B）;4321

如果香桃很有魅力，预期可以遇见 25 位追求者，那她的策略是要拒绝前 9 位追求者（25 的 37% 约为 9），接受之后出现的最好对象。我们也可以用类似的表来验证，但是这个表会变得很庞杂，因此，最好的策略就是接受通用证明。（不用多说，如果要找伴的人是男士而非女士，同样的分析也成立。）如果 N 的数值很大，那么，香桃遵循这套 37% 法则择偶的成功率也约略是 37%。接下来的部分就比较难了：要如何和真命天子相伴相守。话说回来，这个 37% 法则数学模型也衍生出许多版本，其中加上了更合理的恋爱限制条件。